Tiyatro sahnesine henüz çocuk yaşta adım atan Naşit Özcan, 1971 yılında Gönül Ülkü – Gazanfer Özcan Tiyatrosu’nda sahnelenen “Ben Çalmadım” adlı çocuk oyunuyla ilk kez seyirci karşısına çıktı. Profesyonel tiyatro yolculuğu ise 1977 yılında Akbank Çocuk Tiyatrosu’nda başladı.

Tiyatroya gönül veren Özcan, babası Selim Naşit Özcan’ın yönlendirmesiyle Nejat Uygur’un tiyatrosuna emanet edildi ve burada sahne deneyimini pekiştirdi. 1979-1980 yıllarında Ali Poyrazoğlu Tiyatrosu’nun kurslarında tiyatro eğitimi aldıktan sonra, 1983-1984 sezonunda Şan Müzikholü sahnelerinde izleyiciyle buluştu. 1988 yılında İstanbul Büyükşehir Belediyesi Şehir Tiyatroları kadrosuna katılarak sahne kariyerini kurumsal anlamda sürdürdü.

Sanata olan katkılarıyla büyük takdir toplayan Özcan, 2010 yılında 30. İsmail Dümbüllü Ödülü’ne layık görüldü. Tiyatro sahnesinin yanı sıra televizyon dizileri, sinema filmleri ve reklam projelerinde de başarılı performanslar sergiledi.

2021’de verdiği bir röportajda tiyatroya uzanan yolculuğunu şu sözlerle özetledi:
“Annem tiyatrocu olmamı istemiyordu, babam karışmazdı, halam Adile Naşit de çok sıcak bakmazdı. Ama ben kendi çabamla, kendi tırnaklarımla bu noktaya geldim. Bugün tanınıyorsam, bununla gurur duyarım.”

Naşit Özcan, adını yalnızca yeteneğiyle değil, azmi ve sahneye duyduğu derin saygıyla da Türkiye tiyatro tarihine yazdırdı.